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工程延期后监理费的索赔方式有：

1、如果龙游体育app下载官网中有相关约定的，当事人可要求对方按龙游体育app下载官网约定进行赔偿；

2、如果龙游体育app下载官网没有约定的，当事人可与对方就监理费用进行协商；

3、如不能协商一致的，当事人可依法向人民法院起诉。

【法律依据】

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十六条　人民法院应当保障当事人依照法律规定享有的起诉权利。对符合本法第一百二十二条的起诉，必须受理。符合起诉条件的，应当在七日内立案，并通知当事人；不符合起诉条件的，应当在七日内作出裁定书，不予受理；原告对裁定不服的，可以提起上诉。